Chuyên đề đa thức
- Các bài tập về đa thức luôn xuất hiện trong các đề thi các cấp. Loại toán này chủ yếu vào các dạng bài tập sau:
+ Tìm dư của phép chia đa thức f(x) cho nhị thức ax + b.
+ Tính giá trị của đa thức f(x) khi biết một số giá trị.
+ Xác định công thức f(x).
+ Phân tích đa thức bậc 2, 3 thành nhân tử ( sử dụng lược đồ Hooc-ne, trình giải phương trình của máy tính).
1. Tìm dư phép chia đa thức f(x) cho nhị thức ax + b.
a, Phương pháp giải.
+ Định lý Bơzu: Dư trong phép chia đa thức f(x) cho nhị thức x – a là f(a)
+ Chứng minh: Ta có f(x) = (x-a).Q(x) + r ( r là số dư của f(x) chia cho x-a).
Suy ra: f(a) = (a-a).Q(a) + r --> r = f(a).
+ Muốn tìm dư phép chia của f(x) ax+b ta dựa vào định lý Bơzu.
Bước 1: Tìm nghiệm của nhị thức ax + b = 0
Bước 2: Tính Kết luận số dư là r =
Chú ý: trong trường hợp nhị thức là x – a thì chỉ việc tính f(a) rồi kết luận số dư.
VD 1: Tìm dư trong phép chia của f(x) = x4 – 5x3 + 3x2 + 9x – 5 cho
a, g(x) = x – 2 b, h(x) = 2x + 3
Giải
a, Dư của phép chia f(x) cho g(x) là
r = f(2) = 1.
+ Quy trình bấm phím
2
Shift
STO
A


ALPHA
A

4
-
5
ALPHA
A
x3
+
3
ALPHA
A
x2
+
9
ALPHA
A
-
5
=

b, Dư của phép chia f(x) cho g(x) là
r = f=

+ Quy trình bấm phím

Shift
STO
X


ALPHA
X

4
-
5
ALPHA
X
x3
+
3
ALPHA
X
x2
+
9
ALPHA
X
-
5
=


VD 2: Tìm m để đa thức f(x) = 4x4 – 5x3 + m2 x2 – mx – 80 chia hết cho x – 2
Giải
+ Ta có f(2) = 4.24 – 5.23+m2 . 22 – m.2 – 80 = 4m2 – 2m – 56.
+ Để f(x) chia hết cho x – 2 thì f(2) = 0.
Suy ra: 4m2 – 2m – 56 = 0. Giải phương trình trên ta được m1 = 4; m2 = 3,5.
KL: Vậy với m=4 và m=3,5 thì điều kiện bài toán thoả mãn.
VD 3: Tìm a và b sao cho hai đa thức f(x) = 4x3 – 3x2 + 2x + 2a + 3b và
g(x) = 5x4 – 4x3 + 3x2 – 2x –3a + 2b cùng chia hết cho (x – 3)
Giải: f(x) , và g(x) cùng chia hết cho (x – 3) khi và chỉ khi f(3) = g(3) = 0
Đặt A(x) = 4x3 – 3x2 + 2x và B(x) = 5x4 – 4x3 + 3x2 – 2x
Ta có f(x) = A(x) + 2a + 3b
g(x)=B(x) –3a +2b
f(3) = A(3) + 2a + 3b = 87 +2a + 3b ( f(3) = 0 ( 2a + 3b = –87
g(3) = B(3) –3a + 2b = 318–3a +2b ( g(3) = 0 ( –3a +2b = –318
Ta có hệ phương trình :